【考研】2018考研数学：二重积分换元公式证明

2017-09-07 07:42

来源：沈阳新东方

作者：小编

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2018考研数学：二重积分换元公式证明

　　用曲线积分表示面积，

　　D = ∫∫dxdy = ∫xdy = ∫x(t)y'(t)dt = ∫x(ξ(t),η(t)) (y/dξ * ξ'(t) + dy/dη * η'(t)) dt，

　　其中x(t) = x(ξ(t),η(t))，ξ,η是新坐标，

　　而上式又等于曲线积分∫x(ξ,η) (dy/dξ * dξ + dy/dη * dη)

　　再用格林公式 ∫x(ξ,η) (dy/dξ * dξ + dy/dη * dη)

　　= ∫∫( d(xdy/dη)/dξ - d(xdy/dξ)/dη )dξdη

　　= ∫∫(dx/dξ * dy/dη - dx/dη * dy/dξ) dξdη

　　= ∫∫|J| dξdη

　　如果J<0，曲线积分换元时闭路方向相反，前面会多个负号，正好与J的负号抵消，所以加绝对值。

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